Costanti di connessione



Famiglia persistente di polinomi

Una sequenza di polinomi { Pn } si dice persistente se:

P0(x) = 1

Pn(x) = (x - Sn) · Pn-1(x) ; n=1,2,3,...

(dove Sn è la radice dell'n-esimo polinomio della sequenza).

Ad ogni sequenza persistente di polinomi si può associare la sua sequenza di radici [S] = S1, S2,...
Viceversa, ogni sequenza finita di numeri complessi S1, S2,... può essere vista come sequenza di radici di una sequenza persistente di polinomi.

Esempi:

{ x n } = 1, x, x 2 , ...
{ ( x)n } = 1, x, x (x-1), ...
{ < x>n } = 1, x, x (x+1), ...

Ogni polinomio può essere scritto come combinazione lineare di polinomi persistenti:

n
Pn(x) = Ln,k qk(x)
k=0

dove:

- {qk(x)} è una famiglia di polinomi persistenti:

{ q0(x) = 1
qk(x) = (x - rk) qk-1(x)

- Ln,k , coefficienti di tale combinazione lineare , sono le costanti di connessione che legano pn (x) e {qn(x)}.

Lo scopo che ci prefiggiamo è quello di dare una formula per il calcolo di Ln,k in modo esplicito e nei termini delle radici [s] e [r] coinvolte.

Due casi dove il problema è noto:

1) {qk(x)} = {x k };[r=0]

Allora si ha:
Ln,k = funzioni simmetriche elementari di grado n-k nelle variabili S1, ...,Sn
( [S] = S1,S2,... radici di pn(x)

Ln,k = S1 e1 · S2 e2 · ... · Sn en
e1+...+ en= n-k
0e j1

2) pn(x) = x n ;[s=0]

Allora si ha:
Ln,k = funzioni simmetriche omogenee complete di grado n-k nelle variabili r1, ...,rn
( [r] = r1,r2,... radici di { qn(x) } )

Ln,k = r1 e1 · r2 e2 · ... · rn+1 en+1
e1+...+ ek+1= n-k
0e jn-k

Le Ln,k sono cioè funzioni bisimmetriche.

Sia pn(x) = Ln,k · qk(x)
k=0

con { qk(x) } = famiglia persistente di polinomi

[r] = r1,r2,...,rn = radici di { qk(x) }
[s] = s1,s2,...,sn = radici di pn(x)

Si ha:
n-k
Ln,k = ( rit - sit + t - 1 ) , (n > k)
1 i1 ... in-k k+1 t=1

Ln,n = 1

dove per 1i1 ... in-k k+1 si intendono le stringhe di numeri da 1 a k+1 e quindi i multinsiemi costruibili su un insieme di ordine k+1, dove la massima molteplicità è n-k, il cui numero è
( n- k +1 )
k

Nota: dato un insieme A, questo viene definito dalla sua funzione caratteristica : U { 0, 1 } tale che:
(x) = { 1, x A
0, altrimenti

Quando la funzione caratteristica anziché essere definita sull'insieme { 0, 1 } è definita sull'insieme dei naturali, si parla di funzione molteplicità m, dove m(x) rappresenta il numero di volte che l'elemento x compare in A.
Quando A contiene elementi la cui molteplicità è maggiore di 1, allora A si dice multinsieme

Oppure:
n-k
Ln,k = ( rjt-t+1 - sjt ) , (n > k)
1 j1<...<jn-k n t=1

Ln,n = 1

dove per 1j1 <...<jn-k n si intendono le stringhe di numeri strettamente crescenti da 1 a n e quindi i sottoinsiemi di ordine n-k costruibili su un insieme di ordine n, il cui numero è
( n )
n -k

Esempio:

Scrivere (x-e)(x-i)(x-) in funzione delle radici 0, 137, 18.

Si ha:

q1 = x-0 = x
q2 = x (x-137)
q3 = x (x-137)(x-)
n=3

L3,3 = 1

L3,2 (usiamo la 2º formula: 1j1 3 1 2 3 )

L3,2 = (r1-s1) + (r2-s2) + (r3-s3)
= (0 - e) + (137 - i) + (18 - )

L3,1 (usiamo la 1º formula: 1i1 i2 2 11 12 22 )

L3,1 = (r1-s1) (r1-s2) + (r1-s1) (r2-s3) + (r2-s2) (r2-s3)
= (0 - e) (0 - i) + (0 - e) (137 - ) + (137 - i) (137 - )

Allora:

(x-e) (x-i) (x-) = 1 · q3(x) + (-e+137-i+18-) · q2(x) + [ ei - e (137 - ) + (137 - i) (137 - )] · q1(x)

Alcuni esempi di costanti di connessione

n ( n )
1) (x+1) n = Ln,k x k ; Ln,k = (Binomio di Newton)
k=0 k

n ( n )
2) (x-1) n = Ln,k (x-2) k ; Ln,k =
k=0 k

n ( n )
3) (x-2) n = Ln,k (x-1) k ; Ln,k = (-1) n-k
k=0 k

n n! ( n - 1 )
4) <x> n = Ln,k (x) k ; Ln,k = (Numeri di Lah)
k=0 k! k - 1

n n! ( n - 1 )
5) (x) n = Ln,k <x> k ; Ln,k = (-1) n-k ·
k=0 k! k - 1

Osservazioni: